Aturan Pengisian Tempat Dalam Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan adalah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Dikatakan pencacahan karena hasilnya berupa sebuah bilangan cacah.

Terdapat tiga aturan dalam mencacah, yakni, aturan pengisian tempat yang tersedia, aturan permutasi dan aturan kombinasi

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

Aturan pengisian tempat yang tersedia, dibagi menjadi tiga cara, yakni :

(2) Aturan Diagram Cabang

(3) Aturan Perkalian Terurut

Untuk lebih mendalami ketiga aturan tersebut, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini:

01. Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki

02. Ahmad dan Budi adalah calon ketua OSIS di suatu SMA, sedangkan Mahmud, Cici, dan Gani adalah calon wakil ketua, serta Yuli dan Susi adalah calon sekretaris. Dengan menggunakan diagram cabang tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA tersebut

03. Terdapat empat jalan yang menghubungkan kota P dan kota Q, tiga jalan yang menghubungkan kota Q dan kota R serta tiga jalan dari kota R ke kota S. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan seseorang dari koa P ke kota S

05. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7 jika :

(a) angka-angkanya tidak boleh muncul berulang

(b) angka-angkanya boleh muncul berulang

06. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5 dan 6 jika bilangan itu nilainya harus:

07. Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 jika bilangan itu nilainya :

Suatu saat Ani akan pergi ke taman bermain bersama teman-temannya. Namun, dia bingung memilih baju dan celana yang akan di pakai. Dia memiliki dua baju yang berwarna abu-abu dan warna merah. Sedangkan celananya ada tiga jenis yaitu celana warna biru, pink dan hijau. Pertama, Ani mencoba pasangan baju abu-abu dan celana hijau. Namun, kemudian dia mencoba lagi pasangan yang lain. Ani kemudian ingin mencoba semua pasangan baju yang mungkin dia pakai. Tahukah kalian sebenarnya berapa banyak pasanng baju dan celana yang mungkin dipakai oleh Ani?

Untuk menyelesaikan masalah diatas sebenarnya bisa pula dengan menghitung manual yaitu dengan metode diagram pohon atau metode tabel. Berikut ini contoh menghitung pasangan baju yang mungkin dipakai dengan kedua metode tersebut:

Metode manual di atas cukup efektif untuk digunakan tetapi tidak efisien jika banyak baju dan celana sangatlah banyak atau mungkin ditambah kombinasi dari sepatu misalnya. Kalian harus menggambar atau menulis satu-persatu sampai semua pasang yang mungkin dapat dihitung. Oleh karena itu, munculah metode filling slots atau metode pengisian tempat.

Perhatikan dan baca kembali masalah Ani di atas. Ani akan memilih satu baju dan satu celana untuk dipakai dari 2 baju dan 3 celana berbeda yang dia miliki. Artinya Ada dua tempat yang perlu diisi yaitu slot untuk baju dan slot untuk celana.

Pada slot pilihan baju, Ani memiliki 2 pilihan baju yaitu warna abu-abu dan merah. Oleh karena itu, slot baju ditulis 2 karena Ani punya 2 pilihan baju. Sedangkan untuk slot pilihan celana, Ani memiliki 3 celana berbeda yaitu biru, pink, dan hijau. Oleh karena itu, slot celana ditulis 3 karena Ani memiliki 3 pilihan celana. Banyaknya pasangan yang mungkin diperoleh dengan cara mengalikan pilihan yang ada pada slots.

Jadi Ani memiliki 6 pasang baju dan celana yang mungkin dipakai.

Berdasarkan contoh di atas, secara umum Metode Pengisian Tempat (Filling Slots) yaitu sebagai berikut:

Jika terdapat n buah tepat tersedia dengan:

k1 adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat pertama,

k2 adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat kedua, setelah tempat-tempat                   sebelumnya terisi.

k3 adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat-tempat

kn adalah banyak cara atau pilihan untuk mengisi tempat ke-n, setelah tempat-tempat

Maka banyak cara mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah

k1 x k2 x k3 x … x kn

Untuk lebih memahami metode pengisian tempat. Lihat dan pahamilah contoh berikut:

Diketahui angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Carilah banyak cara memilih tiga angka dari angka-angka tersebut agar:

Ada tiga tempat yang harus diisi yaitu

Ali ingin membuat password yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Banyak password yang dapat dibuat jika Ali mencantumkan

namanya di awal saja atau di akhir saja (huruf kapital dan huruf kecil tidak

dibedakan) adalah ....